mercoledì 11 aprile 2018

PRIMI ELEMENTI DI ANALISI COMPLESSA: LE CONDIZIONI DI OLOMORFISMO DI CAUCHY-RIEMANN

In questo blog abbiamo già avuto modo di parlare di numeri complessi (in particolare qui) e abbiamo anche incontrato svariate volte gli strumenti fondamentali dell'analisi matematica nel campo dei numeri reali.
Ora è giunto il momento di fare un piccolo balzo in avanti, andando a scoprire gli strumenti basilari dell'analisi complessa.
Tralasceremo nella narrazione di questo articolo (e di quelli che seguiranno sull'argomento) molte dimostrazioni e tecnicismi esagerati; lo scopo primario qui è infatti di rendere accessibili e digeribili ad un lettore, con un minimo bagaglio di conoscenze dell'analisi matematica reale, le interessanti nozioni fondamentali dell'analisi complessa.
Diciamo innanzitutto che la parte dell'analisi matematica che si occupa dello studio delle funzioni di variabili complesse è generalmente chiamata teoria delle funzioni analitiche.
Premesso che una funzione è analitica nelle regioni dove essa è perfettamente definita (continua con tutte le sue derivate), la teoria delle funzioni analitiche è rivolta, in verità, specialmente allo studio dei punti (o delle regioni) di non analiticità delle funzioni stesse, essendo proprio tali punti, i cosiddetti punti singolari, quelli che determinano le caratteristiche fondamentali delle funzioni considerate.
Le uniche "funzioni" ovunque analitiche sono infatti banalmente costanti.
Una variabile complessa



vien detta funzione della variabile complessa




se esiste una corrispondenza prefissata fra i valori di z e quelli di w; se cioè ad ogni valore di z (fissato in modo qualsiasi in un certo insieme) corrispondono uno o più valori di w.
Nel primo caso la funzione sarà detta monodroma (o a un solo valore), nel secondo polidroma.
Ciò equivale a dire, in pratica, che le 2 funzioni u e v sono funzioni reali delle 2 variabili x e y.
Lo studio delle funzioni di una variabile complessa sembra quindi, a prima vista, potersi ricondurre a quello delle funzioni reali di 2 variabili reali.
In verità, le funzioni analitiche soddisfano a particolari condizioni restrittive che fan sì che queste godano di proprietà peculiari e possano essere studiate direttamente come funzioni di una variabile (complessa).
I concetti basilari della teoria delle funzioni di una variabile reale, come limite e continuità, risultano facilmente estendibili ad una generica funzione di variabile complessa




In tal modo, supposto che f(z) sia definita sui punti di un insieme E e che z₀ E sia un punto di accumulazione (limite) di E, diremo che f(z) tende ad un limite l per zz₀ se, fissato un numero positivo ε arbitrario (piccolo quanto si vuole), è possibile trovare un numero positivo δ tale che:




con




Se una funzione f(z) è definita su un insieme continuo C di valori di z, essa risulta continua nel punto z₀C se esiste ed è finito il limite di f(z) per zz₀ e questo limite coincide con f(z₀).
Una sostanziale difficoltà si incontra invece quando si cerca di estendere alle funzioni di variabile complessa (in generale) il concetto di derivata.
La derivata di una funzione di variabile complessa non è infatti definita sempre in modo univoco.
Tuttavia le funzioni di maggiore rilevanza, ossia le funzioni analitiche, sono proprio quelle per cui la derivata è definita in maniera univoca.
Diciamo ora che f(z) è derivabile in senso complesso (o anche che f è olomorfa) in z₀D, con D insieme di definizione di f(z), se esiste, finito, il limite del rapporto incrementale quando zz₀.
Tale limite si indicherà con f'(z₀) e verrà detto derivata di f in z₀.
In simboli:





La definizione è apparentemente "innocua", ma, come anticipato, è molto più restrittiva di quanto possa sembrare a prima vista.
Essa richiede infatti che il limite del rapporto incrementale esista e sia lo stesso quale che sia il modo (la velocità, come grandezza vettoriale) con cui z tende a z₀.
Tutto ciò impone condizioni severe sulle derivate parziali delle funzioni u(x, y) e v(x, y).

sabato 17 febbraio 2018

20 GRANDI BRANI PER DIMENTICARE SANREMO!

É passata una settimana dalla chiusura del Festival di Sanremo 2018.
Questo post non vuole essere una critica al Festival in sé, ma più in generale alla musica contemporanea, specialmente quella italiana.
Una musica ormai dominata in gran parte da mere banalità, da cantanti senza un minimo di talento sia dal punto di vista puramente tecnico che nella capacità di scrittura/composizione.

Vengono osannate robe come "la scimmia nuda balla", "la vecchia che balla", "Gesù Cristo sono io!", "Andiamo a comandare", che forse rappresentano l'apice della bruttezza e della banalità che si possa raggiungere in quella che invece dovrebbe essere un'arte fatta di armonia, capace di suscitare grandi emozioni, quale è la Musica (la M maiuscola non è a caso).
Siamo in un'epoca dove una voce comunissima (e magari anche molto stonata!) viene designata a ruolo di pop star giusto perché l'aspetto fisico manda in follia un'orda di ragazzine in preda agli ormoni!
Siamo in un'epoca in cui il rap è sempre ai vertici delle classifiche discografiche, pur essendo un genere che per il buon 90% della sua rappresentazione non può essere considerato Musica.
Ora, sia chiaro, questa premessa non vuole denigrare tutta la musica che viene composta attualmente, perché qualcosa di buono viene naturalmente fatto, ma gran parte di ciò si deve ad artisti sconosciuti alla massa.
Proviamo dunque a stilare qui 20 canzoni (passate ma anche recenti) che provino a far comprendere cosa è una struttura musicale adeguata, supportata da un vero talento vocale e magari anche da un testo profondo.
Non inserirò brani di musica classica pura, perché il confronto con la musica attuale sarebbe a dir poco impietoso; giocheremo sul medesimo campo di un Festival di Sanremo, ovvero quello della musica moderna.

domenica 11 febbraio 2018

GEOMETRIE NON EUCLIDEE: I MODELLI DI RIEMANN, KLEIN E POINCARÉ

Abbiamo già parlato di geometrie non euclidee in questo blog, in particolare qui.
Nel presente post andremo ad approfondire un po' la questione.
Incominciamo la narrazione con un preambolo storico-filosofico.
Per tutto il XVIII secolo la geometria euclidea, insieme alla teoria della dinamica newtoniana, fu considerata quanto di più saldo vi potesse essere nella conoscenza scientifica.
È emblematico il fatto che
Immanuel Kant (1724-1804), uno dei più influenti filosofi dell’epoca, nel tentativo di fondare su basi certe la nostra conoscenza del mondo fenomenico, avesse individuato proprio in questi 2 pilastri la base per attribuire allo spazio e al tempo il carattere di intuizioni a priori, preliminari ad ogni forma di conoscenza empirica.

Nella sua Critica della ragion pura, pubblicata nel 1781, Kant si esprimava così: "Lo spazio non è un concetto empirico, ricavato da esperienze esterne..., è una rappresentazione necessaria a priori, la quale serve di fondamento a tutte le intuizioni esterne".
E a proposito del ruolo che il suo concetto di spazio gioca nell’ambito della matematica, Kant aggiungeva:
“Se questa rappresentazione dello spazio fosse un concetto raggiunto a posteriori, risultante dalla generale esperienza esterna, i primi princìpi della matematica risulterebbero accidentali, e non sarebbe perciò necessario che fra 2 punti ci sia solo una linea retta, ma dovrebbe insegnarcelo ogni volta di nuovo l’esperienza”.
Tutto lasciava dunque pensare che le nuove idee sulle geometrie non euclidee sarebbero state accolte con scetticismo e diffidenza, se non addirittura con ostilità.
Di ciò era sicuramente consapevole il più grande matematico dell’epoca, il tedesco
Carl Friedrich Gauss (1777-1855), il quale, pur avendo riconosciuto la possibilità di formulare geometrie alternative, non pubblicò i propri risultati, onde evitare di sentire “le strida dei beoti”.  

Nella prima metà dell’Ottocento toccò a 2 matematici poco noti, operanti al di fuori degli ambienti più accreditati, esplicitare le possibilità di costruire una geometria non euclidea. 
Stiamo parlando di János Bolyai e di Nikolaj IvanoviLobaevskij
Sia Lobaevskij nel suo trattato Nuovi principi della geometria con una teoria completa delle parallele del 1835, sia Bolyai, con l'appendice del Tentamen (grandiosa opera del padre Wolfgang, noto anche come Farkas Bolyai, anch'egli matematico e collega di Gauss), hanno sviluppato, in maniera indipendente, la cosiddetta GEOMETRIA IPERBOLICA
Essa è stata così denominata prendendo spunto da una classificazione introdotta dal matematico tedesco Felix Klein (1849-1925), in cui la geometria euclidea è detta PARABOLICA.
Sia Lobaevskij che Bolyai considerarono la loro geometria come un esercizio della mente, qualcosa che ha un senso solo nell’immaginazione e che non ha necessariamente un riscontro fisico nel mondo osservabile; e questo fu senza dubbio uno dei limiti del loro lavoro.
Dall’altra parte vi era il
problema della coerenza: tutte le ricerche compiute fino ad allora avrebbero potuto rivelarsi prive di senso se si fosse riscontrata una qualche contraddizione nella teoria.
Loba
evskij e Bolyai si erano accorti di tale problema, ma nessuno di essi era stato capace di risolverlo appieno.
Per i matematici del XIX secolo, l’unica geometria coerente era quella euclidea e così, per risolvere il problema, si pensò di costruire dei
modelli di geometrie non euclidee in modo da poterli confrontare con quelli della geometria euclidea.
Tornando a Loba
evskij, egli usò come strumento fondamentale per lo studio della geometria non euclidea la trigonometria immaginaria, che si ottiene da quella solita sostituendo gli angoli reali con angoli immaginari. 

Il primo a svilupparla era stato (simultaneamente e indipendentemente da Vincenzo Riccati) Johann Heinrich Lambert (1728-1777) in una memoria del 1761, ma egli non si era accorto del legame con la propria geometria immaginaria.
Questo legame era stato notato da
Franz Taurinus nel 1826, che però considerava solo come curiosità la geometria e la trigonometria immaginarie.
Loba
evskij vide invece non solo il loro reciproco legame, ma anche il loro comune interesse intrinseco.
Bolyai, dal canto suo, andò ancora un passo oltre e sviluppò una
trigonometria assoluta, indipendente da assunzioni sulle parallele. 

Essa si specializza nella trigonometria solita se si assume il postulato delle parallele, e in quella immaginaria se si assume la sua negazione.
La possibilità di questa formulazione assoluta sta nel fatto che le 2 trigonometrie si ottengono in maniera analoga, da 2 curve che si equivalgono dal punto di vista proiettivo: rispettivamente, il cerchio e l’iperbole equilatera.

Per questo motivo, si parla nel secondo caso di trigonometria iperbolica, e dunque anche di geometria iperbolica.


 







   
Le 2 funzioni trigonometriche iperboliche fondamentali si chiamano, ovviamente, seno e coseno iperbolico, e si indicano rispettivamente con sinh e cosh: le notazioni sono abbreviazioni di sinus e cosinus hyperbolicus, e furono introdotte da Lambert nelle Osservazioni analitiche del 1771.
Gauss, Lobaevskij e Bolyai si erano resi conto che il postulato euclideo delle parallele non poteva essere dimostrato sulla base degli altri postulati e che esso era necessario per fondare la geometria euclidea.
Poiché il postulato delle parallele risultava indipendente, doveva quindi essere possibile, almeno dal punto di vista logico, adottare un enunciato che lo contraddicesse e sviluppare le conseguenze del nuovo insieme di assiomi.
Per studiare il contenuto tecnico delle loro scoperte tanto vale prendere in considerazione l’opera di Loba
evskij, giacché tutti e 3 fecero praticamente le stesse cose (con l’unica differenza che Gauss si limitò a studiare privatamente la geometria non euclidea e non pubblicare opere inerenti ad essa).
Loba
evskij diede numerose versioni che differiscono soltanto nei dettagli.
Come base per la nostra analisi ci serviremo del lavoro del 1835-37.
Poiché, come negli
Elementi di Euclide, si possono dimostrare molti teoremi che non dipendono affatto dall’assioma delle parallele, tali teoremi sono validi anche nella nuova geometria.
Lobaevskij dedica i primi 6 capitoli del suo lavoro alla dimostrazione di questi teoremi fondamentali.
Egli assume all’inizio che lo spazio sia infinito e può poi dimostrare che 2 rette non possono intersecarsi in più di un punto e che 2 perpendicolari alla stessa retta non possono intersecarsi.
Nel settimo capitolo Loba
evskij respinge bravamente il postulato euclideo delle parallele e fa la seguente assunzione: dati una retta AB e un punto C, le rette per C si dividono in 2 classi rispetto ad AB, e cioè:


- la classe delle rette che incontrano AB;
- la classe delle rette che non la incontrano.
   

A quest’ultima appartengono 2 rette p e q che costituiscono il confine fra le 2 classi. Queste 2 rette sono dette parallele
















Più precisamente, se C è un punto a distanza a dalla retta AB, allora esiste un angolo π(a)
[si precisa che la notazione utilizzata non ha alcun riferimento con il numero π ] tale che tutte le rette per C che formano con la perpendicolare CD un angolo minore di π(a) intersecheranno AB, mentre tutte le altre rette per C non intersecheranno AB.
Le 2 rette che formano l’angolo 
π(a) con AB sono parallele e π(a) è chiamato angolo di parallelismo.
Le rette per C diverse dalle parallele e che non incontrano AB sono dette
linee non intersecanti, anche se, nel senso di Euclide, esse sono parallele ad AB, e pertanto in tal senso la geometria di Lobačevskij contiene un numero infinito di parallele passanti per C.
Se 
π(a) = π/2 si ha il V postulato di Euclide.
In caso contrario, ne segue che:

  • π(a) cresce e tende a π/2 quando a tende a 0; 
  • π(a) decresce e tende a 0 quando a diventa infinito.
Inoltre, la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre minore di π , decresce quando l’area del triangolo cresce e tende a π quando l’area tende a 0.
Se 2 triangoli sono simili, allora sono congruenti. 
Lobaevskij affronta poi, come già anticipato, l’aspetto trigonometrico della sua geometria.
Il primo passo è la determinazione di π(a). 
Il risultato, se un angolo giro è uguale a 2π, è:

 


 
da cui segue che:
 



In realtà quella appena fornita è una formulazione particolare.
Infatti, in un lavoro datato 1840, Lobačevskij fornisce la formula che viene solitamente utilizzata nei testi moderni e che è contenuta anche nelle formulazioni di Gauss e Bolyai, ossia:

 



dove k è una costante che viene detta costante spaziale.
Dal punto di vista teorico il valore di k è assolutamente irrilevante.

Comunque sia, la relazione definita è importante, in quanto a ogni lunghezza x associa un angolo definito π(x) .
Se per esempio x = 1, si ha (in base alla prima versione della formula)

 




e quindi π(1) = 40° 24.  
L’unità di lunghezza è perciò quella lunghezza il cui angolo di parallelismo è pari a 40° 24. 
Questa unità di lunghezza non ha un significato fisico diretto.
Dal punto di vista fisico può essere uguale a un centimetro o a un chilometro.
Bisognerà scegliere l’interpretazione fisica che renda applicabile la geometria.
Loba
evskij deduce poi le formule che legano fra loro i lati e gli angoli dei triangoli piani della sua geometria.
In un lavoro del
1834 aveva definito cos x e sin x, per x reale, come le parti reale e immaginaria di eix.

L’obiettivo del matematico russo era quello di dare una fondazione puramente analitica alla trigonometria, in modo da renderla indipendente dalla geometria euclidea.
Le
principali formule trigonometriche della sua geometria sono le seguenti:









 
Queste formule sono valide nella trigonometria sferica ordinaria purché i lati abbiano lunghezze immaginarie.
In altri termini, se si sostituiscono
a, b, c nelle formule usuali della trigonometria sferica con ia, ib, ic, si ottengono le formule di Lobaevskij.

Poiché le funzioni trigonometriche degli angoli immaginari possono essere sostituite dalle funzioni iperboliche, ci si potrebbe aspettare di veder comparire queste ultime funzioni nelle formule di Lobaevskij.
Esse possono essere introdotte servendosi della relazione

 

   
Nel suddetto modo la prima delle formule precedenti diventa:





   
Inoltre, mentre nella geometria sferica usuale l’area di un triangolo di angoli A, B, C è uguale a r2(A + B + C π), nella geometria iperbolica essa è uguale a

r 2[π (A + B + C )], il che equivale a sostituire il raggio r della sfera con ir nella formula usuale.
Servendosi di un triangolo infinitesimo, Lobaevskij aveva derivato nel suo primo lavoro (datato 1829-30) la formula

 






per l’elemento d’arco di una curva di equazione y = f (x) nel punto (x, y)
Sfruttandola, è possibile calcolare la lunghezza della circonferenza di un cerchio di raggio r, che risulta essere uguale a:

 

   
Analogamente, il valore dell’area del cerchio risulta essere uguale a:

 


 
Il matematico fornisce anche dei teoremi sulle aree di regioni piane e curve e sui volumi dei solidi.
Le formule della geometria euclidea seguono da quelle non euclidee quando le grandezze in gioco sono piccole.

Così, se si usa il fatto che

 



   
e si trascurano, per r piccolo, tutti i termini tranne i primi due, si ottiene ad esempio:






giovedì 11 gennaio 2018

ORIGINI STORICHE E FONDAMENTI DELLA GEOMETRIA PROIETTIVA

In geometria il risorger di un’attività creativa significativa venne in ritardo rispetto all’algebra.
A parte la creazione del sistema matematico della prospettiva e le ricerche geometriche incidentali degli artisti rinascimentali, pochissimi risultati degni di nota vennero ottenuti in geometria dai tempi di Pappo (290 d.C. circa - 350 d.C. circa) fino al 1600 circa.

Un certo interesse fu suscitato dalla pubblicazione di numerose edizioni a stampa delle Sezioni coniche di Apollonio, in particolare della notevole traduzione latina dei libri I-IV di Federigo Commandino (1509-1575) apparsa nel 1566.
Quelli che erano necessari, e che in effetti si presentarono, per dirigere le menti dei matematici entro nuovi canali erano dei problemi nuovi.

Uno di questi era già stato sollevato dall’architetto e matematico Leon Battista Alberti (1404-1472): quali proprietà geometriche hanno in comune 2 sezioni dalla stessa proiezione di una figura reale?
Un gran numero di problemi venne dalla scienza e dalle necessità pratiche.
L’uso fatto da Keplero delle sezioni coniche nella sua opera Astronomia nova, datata 1609, diede un enorme impulso al riesame di tali curve e alla ricerca di loro proprietà utili per l’astronomia.
L’ottica, che aveva destato l’interesse dei matematici fin dai tempi dei Greci, ricevette un’attenzione molto più viva dopo l’invenzione del telescopio e del microscopio avvenuta all’inizio del Seicento.
La progettazione delle lenti di questi strumenti divenne un problema fondamentale; esso implicava un aumento d’interesse per le forme delle superfici o, poiché si trattava di superfici di rotazione, per le curve che le generano.
Le esplorazioni geografiche avevano creato un gran bisogno di carte e un interesse per lo studio delle rotte navali quali sono rappresentate sulla sfera e sulla carta. 

L’introduzione del concetto del moto della Terra richiedeva nuovi principî di meccanica che dessero conto delle traiettorie degli oggetti mobili e anche questo implicava lo studio delle curve.
Fra gli oggetti mobili i proiettili diventarono sempre più importanti perché i cannoni potevano ora lanciare le loro palle a centinaia di metri di distanza ed era vitale essere in grado di predirne la traiettoria e la gittata.
Il problema pratico del calcolo delle aree e dei volumi incominciò ad attrarre un’attenzione sempre maggiore.
La
Nova stereometria doliorum vinariorum (1615) di Keplero diede inizio a una nuova esplosione di attività nel suddetto campo.

Un altro tipo di problemi si presentò come conseguenza dell’assimilazione delle opere greche.
I matematici cominciarono a rendersi conto che i metodi di dimostrazione greci mancavano di generalità, in quanto bisognava escogitare un metodo speciale quasi per ogni problema.

Questa osservazione era stata compiuta da Agrippa di Nettersheim (1486-1532) sin dal 1527, e da Maurolico, che aveva tradotto delle opere greche e aveva scritto libri sulle sezioni coniche ed altri argomenti matematici.
Molte delle risposte date ai nuovi problemi si ridussero a variazioni minime su vecchi temi. Infatti, la prima innovazione portatrice di rilevanti conseguenze venne solamente in risposta ai problemi sollevati dai pittori.

L’idea fondamentale nel sistema di prospettiva focale creato dai pittori è il principio di proiezione e sezione.
Una scena reale viene osservata dall’occhio considerato alla stregua di un punto.
I raggi di luce che vanno dai vari punti della scena all’occhio sono detti costituire una
proiezione.

Secondo il sistema, il quadro deve contenere una sezione di quella proiezione, laddove la sezione è definita matematicamente come ciò che risulta contenuto in un piano passante attraverso la proiezione.
Supponiamo ora che l’occhio in O guardi il rettangolo orizzontale ABCD. 




















  Le rette che vanno da O ai 4 lati di questo rettangolo costituiscono una proiezione di cui OA, OB, OC e OD sono rette tipiche.
Se si interpone ora un piano fra l’occhio e il rettangolo, le rette della proiezione taglieranno il piano e tracceranno su di esso il quadrangolo A’B’C’D’.

Dato che la sezione (ovvero A’B’C’D’) crea sull’occhio la stessa impressione del rettangolo originale, è ragionevole chiedersi, come fece Alberti, quali proprietà geometriche hanno in comune la sezione e il rettangolo originale.
È intuitivamente evidente che la figura originale e la sezione non sono né congruenti né simili, e neppure hanno la stessa area.

In effetti la sezione non è necessariamente un rettangolo.
Sussiste un’estensione di tale problema: si supponga di fare 2 sezioni diverse di una stessa proiezione mediante 2 piani distinti che tagliano la proiezione secondo angoli qualsiasi.
Quali proprietà hanno in comune le 2 sezioni?

Il problema può essere ulteriormente esteso.
Supponiamo che un rettangolo ABCD sia guardato da 2 punti diversi O’ e O’’. 


 













Vi saranno allora 2 proiezioni, una determinata da O’ e dal rettangolo, l’altra invece da O’’ e dal rettangolo. 
Se si fa una sezione di ciascuna proiezione, allora, poiché ogni sezione deve avere qualche proprietà geometrica in comune col rettangolo, pure le 2 sezioni devono avere delle proprietà geometriche in comune

martedì 7 novembre 2017

DI ELEMENTI E PONTI DEGLI ASINI

In questo post andremo ad osservare le origini della geometria deduttiva, concentrandoci sulla maestosa opera Elementi di Euclide e, in particolare, su un qualcosa all'interno di quest'opera che viene spesso chiamato pons asinorum, ovvero "ponte degli asini".
Incominciamo il nostro viaggio dicendo che la storia della geometria, ovvero lo sviluppo nel tempo del concetto di spazio, parte all’incirca 4000 anni fa con le antiche civiltà degli Egizi e degli Indiani.
È interessante notare come i concetti geometrici si sviluppano nel bambino e nell’adolescente in maniera incredibilmente differente da quanto è avvenuto nel corso della storia.
Infatti, in tal campo pionieristico risulta il lavoro dello svizzero Jean Piaget, che per 60 anni ha studiato a fondo lo sviluppo della concezione logica, matematica e fisica del mondo, dalla nascita dell’individuo alla sua maturità.
Nel 1948 egli ha “riassunto” i risultati geometrici delle sue ricerche in 2 ponderosi volumi, intitolati rispettivamente La rappresentazione dello spazio nel bambino e La geometria spontanea del bambino.
La sorpresa nella suddetta analisi è stata che l’individuo giunge alle nozioni geometriche seguendo un percorso che procede in direzione esattamente opposta a quella delle scoperte effettuate nel corso della storia.
Più precisamente, agli inizi il bambino piccolo è in grado di distinguere fra loro le forme, e riesce presto a disegnare diversamente oggetti che hanno forme diverse: ad esempio, una persona e una casa.
Ci vogliono però alcuni anni perché egli sviluppi la capacità di disegnare gli oggetti nella corretta relazione spaziale: ad esempio, una persona al livello del terreno, invece che sul tetto o per aria, alla maniera di Chagall.
E devono passare ancora altri anni affinché si acquisti infine l’abilità di disegnare in scala, con le corrette relazioni fra le dimensioni: ad esempio, facendo una persona più piccola di una casa e più grande di un cane.
I 3 stadi corrispondono sostanzialmente a 3 tipi di geometria (topologica ottocentesca, proiettiva rinascimentale e metrica greca), ma appunto in ordine inverso.
Detto ciò, cominciamo ad avventurarci nella storia della geometria in modo da introdurre al meglio l’argomento centrale della nostra analisi, ovvero gli Elementi di Euclide.
Intorno al 600 a.C. Talete di Mileto inaugurò quella che chiamiamo “scienza”.
Prima di costui i filosofi non pensavano in termini astratti: invece di cercare i princìpi celati dietro gli eventi insoliti che la natura poneva loro di fronte, cercavano dei personaggi.
Ecco come nacquero i miti e le leggende, storie di dei e dee, i cui rapporti reciproci e con gli uomini davano origine ai fenomeni naturali, come la primavera, il tuono, le eclissi e così via.
Talete (640 a.C/625 a.C. - 547 a.C circa) riteneva al contrario che la natura, lungi dall’operare per capriccio, o in seguito alle vicende fantastiche degli dei, agisse secondo princìpi intellegibili agli uomini; fu lui a introdurre l’astrazione nello studio della natura.
In particolare, Talete portò l’astrazione nella geometria.
Prima del suo avvento, “geometria” (dal greco geo, “terra”, e metrein, “misurare”) significava “agrimensura”, e le figure geometriche erano oggetti particolari, come recinti o campi.
Il filosofo invece le concepì alla stregua di forme astratte, e analizzando alla luce di tale intuizione tutto il “corpus” di indicazioni geometriche, regole pratiche e formule empiriche, tramandato da Babilonesi ed Egizi, vi scoprì un ordine.
Notò cioè che alcuni fatti geometrici erano deducibili a partire da altri.
Esortò così a fare della geometria, per quanto possibile, un’attività puramente speculativa.
Poco distante da Mileto (situata sulla costa occidentale dell’Asia Minore, attualmente Turchia) vi è l’isola di Samo, in cui nacque nientemeno che Pitagora (all’incirca quando Talete aveva 50 anni).
Pitagora (nato tra il 580 e il 570 a.C. - morto nel 495 a.C.) si nutrì delle teorie scientifiche di Talete e abbracciò in particolare la sua concezione della geometria.
I pitagorici ritenevano che tutta la geometria fosse immanente in natura, in altri termini pensavano che i concetti geometrici dovessero essere dotati di una consistenza effettiva nel mondo materiale.
L’eredità della scuola pitagorica risiede in ciò che i matematici odierni chiamano “rigore”, un modo di pensare caratteristico che mira a separare il più possibile la matematica dalle sue origini concrete e pratiche.
I termini vengono definiti e i princìpi vengono formulati avendo la massima cura di non introdurre surrettiziamente ipotesi non esplicitate, e i teoremi sono dimostrati usando la sola logica.
Nel V secolo a.C., quando ancora la matematica non era una disciplina rigorosa, i matematici avevano già elaborato lunghe serie di teoremi geometrici in cui ogni teorema veniva dedotto, in modo non formale, da quelli precedenti; ogni serie iniziava da generalizzazioni dell’esperienza che naturalmente non erano dimostrate.
Con l’ampliarsi della portata di tali catene deduttive, emerse la proposta di grande audacia che forse sarebbe stato possibile unirle tutte in un unico sistema basato su un ristretto numero di generalizzazioni dell’esperienza, che avrebbe potuto contenere una vasta gamma di conoscenze geometriche elementari.
Verso la fine del suddetto secolo, più o meno all’epoca della dimostrazione della non-razionalità di √2, Ippocrate di Chio stabilì questo risultato in un libro denominato Elementi, ovvero il primissimo tentativo di esposizione sistematica della geometria.
Successivamente, mentre si procedeva a rendere rigorosa la matematica, vennero formulati altri sistemi geometrici completi.
Un libro di Elementi fu scritto da un matematico di nome Leone, di cui non sappiamo nient’altro se non il nome e che fu attivo attorno al 380 a.C.
Un altro Elementi, di poco posteriore, fu opera di Teudio di Magnesia, membro dell’Accademia platonica.
Ergo, ad ognuno di questi sistemi ci si riferiva come agli Elementi e probabilmente ognuno, avendo assiomi più semplici, logica più rigorosa o più teoremi, si presentava come un miglioramento dei precedenti.
La suddetta serie culminò con i celebri Elementi di Euclide, opera ultimata all’incirca nel 300 a.C.
Gli Elementi di Euclide costituiscono un unico sistema deduttivo di 465 teoremi che contiene non solo una enorme quantità di geometria elementare ma pure numerosi elementi di algebra e di teoria dei numeri.
La loro organizzazione e il loro livello ne fecero il testo di riferimento di geometria; in effetti ben presto eclissarono ogni tentativo di sistemazione precedente.
Gli Elementi di Euclide rappresentano il libro di testo di maggior successo mai scritto.
Hanno avuto infatti più di 1000 edizioni e sono stati adottati fino all’avvento dei “textbook” nel XX secolo.
Ancora più significativo è il fatto che, sin da loro primo apparire, siano divenuti per gli scienziati una pietra di paragone: essi costituiscono l’archetipo del trattato scientifico.
Considerando l’importanza di tal opera, è sorprendente quanto poco si sappia del suo autore: gli studiosi hanno persino dubbi nel datare la vita di Euclide, e si sa solo che fiorì attorno al 300 a.C, quando il centro degli studi matematici e filosofici si stava spostando da Atene ad Alessandria d’Egitto, fondata da Alessandro Magno alle foci del Nilo.
In questo luogo Euclide fondò, presso il Museo, “Tempio delle Muse” (centro dello sviluppo umanistico e scientifico della cultura ellenistica), una scuola matematica ma, a parte questo, tutto ciò che si conosce di lui si deve a 2 aneddoti:

1) Il primo racconta di uno studente che iniziando a studiare geometria gli chiede: “Cosa ci guadagno a imparare queste cose?”, al che Euclide, per tutta risposta, chiama un servo e gli ordina: “Dagli una moneta, poiché vuol lucrare dalla conoscenza”.

2) Nel secondo si racconta del re Tolomeo I (un generale di Alessandro Magno) che gli chiede: “Esiste in geometria una strada più breve degli Elementi?” ed Euclide risponde: “Non esiste via regia alla geometria”.